Question

如图,已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B（点A在点B的左侧）两点,与y轴交于点C

（2）设点D（-2，a），请问：当a为何值时，DB+DC的值最小
（3）在直线AC上是否存在一点P，使以点A，O，P为顶点的三角形与三角形ABC相似，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

抛物线y=x^2+2x-3与x轴交于A(-3,0),B(1,0),与y轴交于点C(0,-3).
(2)点B,C在直线x=-2的同侧，B关于直线x=-2的对称点是B'(-5，0),
B'C:y=(-3/5)x-3与直线x=-2交于点D(-2，-9/5),这时
BD+DC=B'D+DC=B'C为最小，
∴a=-9/5.
(3)△ABC和△AOP中，∠BAC=∠OAP,AB=4，AC=3√2，AO=3，
∴△ABC∽△AOP,必须且只需AB/AO=AC/AP,或AB/AP=AC/AO,
∴AP=AO*AC/AB=9√2/4，或AP=AB*AO/AC=2√2，
AC:y=-x-3,P(-3/4,-9/4)或(-1,-2).

Answer 2

2、有题意得A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),DB+DC最小，则D点在直线LBC的中垂线上，LBC：3x-y-3=0(1)式,LBC中垂线：y=-1/3x-4/3,将D（-2，a)带入得a=-2/3;
3、三角形aop相似于三角形abc,则BC平行于OP,则直线OP：y=3x（2）式，由（1）（2)得P(-3/4，-9/4)

Answer 3

解：（2）令y=0，得A（-3，0） B（1，0），令x=0，得C（0，-3），由此可得直线BC的方程为y=3x-3，若使DB+DC的值最小，只需点D在直线BC上，使B,C,D三点共线即可，于是把y=a，x=-2代入y=3x-3中解得a=-9， 所以当a为-9时，DB+DC的值最小.
（3）直线AC的方程为y=-x-3，若使以点A，O，P为顶点的三角形与三角形ABC相似，只需直线OP与直线BC平行，则直线OP的方程为y=3x，联立方程组y=3x和y=-x-3
解得x=-4分之3，y=-4分之9，于是P点的坐标为P（-4分之3，-4分之9）。（说明：P点为与直线BC平行且过点O的直线OP与直线AC的交点）