Question

关于线性代数的证明题🙏

Answer 1

这题就是证明|A＋B|＝0

则，齐次方程组(A＋B)X＝0有非零解

利用正交矩阵的性质来证明

证明过程如下：

Answer 2

A, B 是n阶正交阵， |A|+|B| = 0, 求证 存在非零向量X 使得AX = -BX。

思路：只需要证明A+B的行列式为0.

网上的解答：det(A+B) = det(A B^T B+A A^T B)) = det(A(B^T+A^T)B) = -det(B^T+A^T)= -det((B+A)^T)= - det(B+A)，所以det(A+B)=0.（不需要假设是实矩阵）
参考stackexchange：Is sum of two orthogonal matrices singular?

Answer 3

|A||A+B|=|A^T||A+B|=|I+A^TB|=|A^T+B^T||B|=|A+B||B|
因此|A+B|=0
(A+B)X=0有非零解。