Question

如何用函数极限的定义证明

Answer 1

限 |x-1/2|<1/4，有 |x-1| > 1/2-|x-1/2| > 1/2-1/4 = 1/4。任意给定ε>0，要使

x/(x-1)-(-1)| = 2|(x-1/2)/(x-1)

= 2|x-1/2|/|x-1| < 2|x-1/2|/(1/4)

= 8|x-1/2| < ε，只须 |x-2| < min{ε/8,1/4}。

取 δ(ε) = min{ε/8,1/4} > 0，则当 0< |x-1/2| < δ(ε) 时，就有|x/(x-1)-(-1) <= 8|x-1/2| < …< ε ，根据极限的定义，得证。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

扩展资料

函数f的图象是平面上点的集合，其中x取定义域上所有成员的。函数图象象以帮助理解证明一些定理。

如果X和Y都是连续的线，则函数的图象有很直观表示注意两个集合X和Y的二元关系有两个定义：一是三元组（X,Y,G），其中G是关系的图；二是索性以关系的图定义。用第二个定义则函数f等于其图象。

Answer 2

　　用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是：
　　限 |x-1/2|<1/4，有 |x-1| > 1/2-|x-1/2| > 1/2-1/4 = 1/4。任意给定ε>0，要使
　　　　 　|x/(x-1)-(-1)| = 2|(x-1/2)/(x-1)|
　　　　 = 2|x-1/2|/|x-1| < 2|x-1/2|/(1/4)
　　　　 = 8|x-1/2| < ε，
只须 |x-2| < min{ε/8,1/4}，取 δ(ε) = min{ε/8,1/4} > 0，则当 0< |x-1/2| < δ(ε) 时，就有
　　　　|x/(x-1)-(-1) <= 8|x-1/2| < …< ε ，
根据极限的定义，得证。