Question

求解一次同余方程组，如题

一组是 22054x≡6（mod19） x≡a+5(mod23)
另一组 22053x≡6(mod19) x≡a+5(mod23)
请写详细步骤 多谢

Answer 1

注：以下为打字方便故，用双等号==表示同余。数论书籍上一般是用三线等号≡
题：x == r mod 19, x== s mod 23
解：以下解法等效于中国剩余定理。
令x=23p+19q，
(注：23与19互质，即gcd(23,19)=1，故当p,q为整数时，23p+19q可取遍所有整数，故上式是可行的)
代入原同余式组，则有：
23p+19q==r mod 19
23p+19q==s mod 23
即：
23p==r mod 19
19q==s mod 23
于是
4p==r==20r mod 19, p==5r mod 19
-4q==s=24s mod 23，q=-6s==17s mod 23.
于是
x=23*(5r mod 19) + 19* (-6s mod 23)
==23*5r -19*6s (mod 23*19)

题： 22054x≡6（mod19） x≡a+5(mod23)
解：22054 mod 19 ==14
故 14x==6 mod 19, 即7x==3, 即21x==9, 即2x==9==28, 即x==14 mod 19.
下略。

题： 22053x≡6(mod19) x≡a+5(mod23)
解：22053 mod 19 ==13
故 13x==6 mod 19, -6x==6, x==-1==18 mod 19
下略。