Question

设函数f（x）=（x^2+ax+b）e^x(x∈R）

（1）若2a+b=-3，试确定f（x）的单调性
（2）记g（x）=lf（x）l/e^x,且g（x）在[-1,1]上的最大值为M，证明M≥1/2
抱歉 (2)的解法我看不懂 有人教我用g（1）≤M，g（0）≤M，g（-1）≤M和lal+lbl≥la+bl来做 你会吗

Answer 1

(1)求f(x)的导数，
f'(x)=[x^2+(a+2)x+a+b]*e^x=[x^2+(a+2)x+2a+b-a]*e^x=[x^2+(a+2)x-(a+3)]*e^x
=(x+a+3)(x-1)*e^x
当a=-4时，函数全局单调增；
当a>-4时，函数在区间-1<x<a+3内为减函数，其他地方函数为增函数
当a<-4时，函数在区间a+3<x<-1内为减函数，其他地方函数为增函数

(2)g(x)=|x^2+ax+b|
由抛物线的性质知g(x)在[-1,1]上的最大值M=max(|-a+b+1|,|a+b+1|,|b-a^2/4|)
观察max()中的三个表达式可以看出：当b值固定时，无论b值等于多少，M都在a=0时取最小值。当a=0时，M=max(|b+1|,|b+1|,|b|)=max(|b+1|,|b|)，
当b=－1/2时，M达到最小值，最小值为1/2。

抱歉，之前我在书写上有点错误，可能因此导致你看不明白，已经改过来了。
如果用你补充的思路来做的话，或许可以这样分析：
因为g(-1)<=M，得|b+1-a|<=M
因为g(1)<=M，得|b+1+a|<=M
因为g(0)<=M，得|b|<=M
|(b+1-a)+(b+1+a)|<=|b+1-a|+|b+1+a|<=2M
所以|b+1|<=M
用反证法，假设M<1/2
则由|b|<=M可得，-1/2<b<1/2
由|b+1|<=M可得，-3/2<b<-1/2
上面两个区间无公共部分，这就意味着不等式|b|<=M和|b+1|<=M不会同时成立，显然矛盾。因此假设不成立，即M>=1/2。

两种方法都可以证明本题，差别在于前一种方法是主动去计算出M的最小值是多少，事实上用此方法还可以得出M的最小值在a=0,b=-1/2时取到。后一种方法是在已经知道M的最小值的情况下，对该最小值进行验证，当然此方法的优点是比较容易理解。