Question

第二型曲线积分的几何意义到底是什么，怎么用积分思想的图来画出第二型曲线积分的图形。别告诉我说没几何

第二型曲线积分的几何意义到底是什么，怎么用积分思想的图来画出第二型曲线积分的图形。别告诉我说没几何意义。

Answer 1

本质上来说的话，第二类曲线积分是求变力沿曲线做的功。第一类曲线积分是求曲线物体的质量。从微积分学角度来说的话，第一类曲线积分是对曲线的线密度积分，就是质量。第二类曲线积分是曲线对力的作用效果积分，也就是功。但区别在于它质量是固定值，没有负的，而功虽然也是标量，但它有正负，所以对力的作用效果积分的路径要有个方向，如果是反向，功自然变为相反数。至于功，是力的矢量与位移的矢量的内积，力的矢量就是第二类曲线积分的被积向量值函数，而所谓位移就微分成路径的切向量，这样在每一点的力矢与径矢的数量积都是功元素。（这里要说明一下，如果路径是反向的话，那么力矢与径矢的数量积也变为相反数，这就是为什么第二类曲线积分路径如果变为反向积分值也会变为反向的本质原因！）对这条曲线上的所有功元素积分，就是变力沿曲线所做的功！而至于两类曲线积分的联系，说白了，你把第二类曲线积分每一点的单位切向量拿出来和向量值函数做数量积，然后就变成第一类曲线积分了。
哈哈，虽然不知道这么久了楼主能不能看到这条回复，不过对我也是有帮助的，我刚刚预习自学完曲线积分曲面积分这部分，有这么一点薄见，希望看到的人能受到启发吧

Answer 2

第二类曲线积分就是从研究变力做功开始的，你翻翻你的数分教材，我敢肯定你找不到他说这玩意和某个几何图形有关系。
就算你如此费劲后找到了联系，我敢肯定这是牵强附会。
积分的最基本思想并不是求面积、体积亦或是功、质量，而是分割、累加和、求极限。该清楚本质。

追问

就是因为找不到，所以才来这问的。只是纯粹用带书的方法证明格林公式，我理解不透

追答

格林公式的思想和牛顿-莱布尼茨公式的思想一样，体现了边界与内部的联系。你要是找对公式的直观理解应该在物理上找，不是用几何。

追问

呵呵，

这些都是通的，书上没有，或者你没从书上找到。不代表着就没有。比如说罗尔中值定理书上有图，拉格朗日中值定理，有的书上有图，有的书上有图，有的就没有。柯西中值定理，我看了三本教材都没图，包括张筑生版的。可是我废了好大的劲自己弄出来了。有了图的定理理解起来容易多了，记忆起来还不会错

格林公式的图，关键就在于第二型曲线积分的图。在费了好大劲后，我也差不多弄出来了

追答

既然你说找到了通俗易懂的图，能够从图上就看出公式的具体形式，那就发出来让大家看看，或者发个论文。

追问

论文谈不上，只是小技巧而已。是对求曲面积分那个图的进一步推广

追答

从定义上看，第二类曲线积分是计算向量场在曲线方向上的贡献。我们学习的所有积分的本质思想都是将区域分割成小块、近似计算每一小块对应的值、然后把它们加起来求这个和在小块区域直径趋于0时的极限。

你想找green公式的几何解释，有两个难点：

1. 用几何描述第二类曲线积分
   

2. 搞清楚重积分部分被积函数的意义

公式对应的几何意义，可以理解为：向量场（P,Q）沿某一顺时针绕行曲线的积分等于以 Q对x偏导 - P对y偏导 这一函数为顶的曲顶柱体的体积。

但是这并没用鸟用，不能算用几何解释公式，只能说是公式的一种记忆方法之类的。这是我能想到的。

你既然已经找到能够解释这个定理的几何图形，那把图片发过来嘛。你既然不打算发论文，那把图发到网上也没关系吧。如果你要发论文，请告诉我发到哪本杂志上，我一定拜读。我觉得，你做的这件事，没有几个教授做过，发论文应该够了。

PS：我是真心向你求教的。

追问

有机会再说吧

我只是有了一个思路，勉强全是猜想吧。没有严格的证明。而且一两句也说不清。只能给你个算是提示的内容吧。没那么高深。发张图，算是思路的头吧。你觉得对的话，就顺着这思路弄。不对的话，算我没说。我这些，在教授那里根本上不得台面。

那图有错误

再发张，顺便把柯西中值定理的图也发了

Answer 3

你这三个中值定理只是相当于把文字画出来，没有意义。并没有体现其中的道理，所以并不算几何意义

Answer 4

硬啊 哪有图像