Question

(x+1)/x²-2x+5的不定积分是什么

Answer 1

(1/2)ln|x^2-2x+5| + arctan[(x-1)/2] + C

解题过程如下：

x+1= (1/2)(2x-2) +2

∫(x+1)/(x^2-2x+5) dx

=(1/2)∫(2x-1)/(x^2-2x+5) dx + 2∫dx/(x^2-2x+5)

=(1/2)ln|x^2-2x+5| + 2∫dx/(x^2-2x+5)

consider

x^2-2x+5 = (x-1)^2 +4

let

x-1= 2tany

dx= 2(secy)^2 dy

∫dx/(x^2-2x+5)

=(1/2)∫ dy

=(1/2)y + C'

=(1/2)arctan[(x-1)/2] + C'

∫(x+1)/(x^2-2x+5) dx

=(1/2)ln|x^2-2x+5| + 2∫dx/(x^2-2x+5)

=(1/2)ln|x^2-2x+5| + arctan[(x-1)/2] + C

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

Answer 2

x+1= (1/2)(2x-2) +2

∫(x+1)/(x^2-2x+5) dx
=(1/2)∫(2x-1)/(x^2-2x+5) dx + 2∫dx/(x^2-2x+5)
=(1/2)ln|x^2-2x+5| + 2∫dx/(x^2-2x+5)

consider
x^2-2x+5 = (x-1)^2 +4
let
x-1= 2tany
dx= 2(secy)^2 dy

∫dx/(x^2-2x+5)
=(1/2)∫ dy
=(1/2)y + C'
=(1/2)arctan[(x-1)/2] + C'

∫(x+1)/(x^2-2x+5) dx
=(1/2)ln|x^2-2x+5| + 2∫dx/(x^2-2x+5)
=(1/2)ln|x^2-2x+5| + arctan[(x-1)/2] + C