Question

设f(x)=定积分cos1/tdt,求f'(0)，积分上限是x，下限是0

设f(x)=定积分cos1/tdt,求f'(0)，积分上限是x，下限是0

Answer 1

因为用洛必达是不存在的，所以不能用洛必达，算积分，cos拿到d后，成为分部积分等于lim(积分符号上限为x下限为0 sin（1/t)•2tdt-x平方＊sin（1/x) /x)，极限四则运算分开，前面部分可以用洛必达了等于0后面也等于0，所以结果等于0。

取极限，当底长趋向无限小时，lim(n→∞) Σ(k=1→n) (x/n)ƒ(kx/n) = ∫(0→x) ƒ(t) dt

= lim(n→∞) (x/n) Σ(k=1→n) cos(kx/n)

= lim(n→∞) (x/n)[cos(x/n) + cos(2x/n) + cos(3x/n) + ... + cos((n - 1)x/n) + cos(nx/n)]

= lim(n→∞) (x/n)(1/2)[cosx - 1 + sinxtan(2n/x)]

= x * (sinx)/x

= sinx

定积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间［a，b］上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间［a，b］的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a，b。

Answer 2

cos1/t有界，且只有有限个间断点，所以其可积，所以f(x)连续，但是由于cos1/t有x=0的间断点，所以f(x)在零处不可导，故不能直接求导数。同时如果用定义去求，这就用到了洛必达，求出后为cos1/x,x趋于0，所以极限不存在，但是由洛必达的使用条件可以知道，用洛必达后不存在，不能说明原极限不存在，应改用他法，所以通过分部积分去做就可以了。这是一道好题考查很细致

Answer 3

因为用洛必达是不存在的，所以不能用洛必达，算积分，cos拿到d后，成为分部积分等于lim(积分符号上限为x下限为0 sin（1/t)•2tdt-x平方＊sin（1/x) /x). 极限四则运算分开，前面部分可以用洛必达了等于0后面也等于0，所以结果等于0

Answer 4