Question

高数题求助，第9第10题，求详细过程

Answer 1

9、证明：
x>0时，将函数f(x)在x=0处按一阶泰勒级数展开，得
f(x)=f(0)+f'(ξx)*x=f'(ξx)*x
其中，ξx随x变化而变化，且0<ξx<x。
于是：
|∫(0到a)f(x)dx|=
|∫(0到a) f'(ξx)*xdx|≤
∫(0到a) |f'(ξx)|*xdx≤
∫(0到a) M*xdx=Ma²/2
10、证明：
∫(0到a) f(x)dx=（令x=at，则dx=adt，x=0时t=0，x=a时t=1）
∫(0到1) f(at)adt=
a∫(0到1) f(at)dt=
a∫(0到1) f(ax)dx
因为f(x)在[0,1]上单调递减，且ax<x，所以有f(ax)>f(x)，于是：
∫(0到a) f(x)dx=a∫(0到1) f(ax)dx>a∫(0到1) f(x)dx