Question

已知在△ABC中，AB=AC ∠BAC=α，60°<α<120°

点P是三角形内任意一点，连结PC，PB，PA， 且PC=AC，∠PCA=120°-α 求∠PBC=？
(此题有三问，从前两问可以求得∠PAC=α/2 + 30°， ∠BAP=∠PCB, 上面的问题是第三问，有高手请指点，在线等)
请注意AP和BP不在一条直线上

Answer 1

解：在△ABC内取点D，使得PD//BC且BP=CD，连结AD
则易知四边形BCDP是等腰梯形
有∠PBC=∠DCB
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB
则∠ABP=∠ACD
所以△ABP≌△ACD (SAS)
则AP=AD且∠BAP=∠CAD
在△ACP中，PC=AC，∠PCA=120°-a
则∠APC=∠PAC=(180°-∠PCA)/2=[180°-(120°-a)]/2=30°+a/2
又∠BAC=a，则∠BAP=∠BAC-∠PAC=a-(30°+a/2)=a-30°
所以∠PAD=∠BAC-∠BAP-∠CAD=a-2(a-30°)=60°
因为AP=AD，所以△PAD是等边三角形
则PD=AD
所以△PCD≌△ACD (SSS)
则∠PCD=∠ACD=∠PCA/2=60°-a/2
又∠BCA=∠CBA=(180°-∠BAC)/2=90°-a/2
则∠BCD=∠BCA-∠ACD=90°-a/2 -(60°-a/2)=30°
所以∠PBC=∠BCD=30°

Answer 2

∵PC=AC,∴∠CAP=∠APC=(180°-∠PCA)/2=30°+α/2
∵AB=AC∴∠ACB=(180°-α)/2=90°-α/2
∠PBC=∠APC-∠PCB=30°+α/2-(∠ACB-∠PCA)
=30°+α/2-(90°-α/2-120°+α)
=60°

Answer 3

∵PC=AC,∴∠CAP=∠APC=(180°-∠PCA)/2=30°+α/2
∵AB=AC∴∠ACB=(180°-α)/2=90°-α/2
∠PBC=∠APC-∠PCB=30°+α/2-(∠ACB-∠PCA)
=30°+α/2-(90°-α/2-120°+α)
=60°