Question

高等数学重要极限问题

我做了出来答案是1 但是参考答案是2 两边都是重要极限 第一个下面是2/X 不是应该乘上1/2吗 那两边加起来就是1了 但是答案是2 请问是怎么算出来的 谢谢了

Answer 1

第一个不是重要极限哦。x/sin(2/x)这里的x是趋于无穷小的，这不是第一个重要极限（sinx/x)，第一个重要极限的x趋于0，注意此时的sinx也趋于0。也就是说第一个重要极限是两个无穷小的比较。sinx和x由于是等价无穷小，所以在x趋于0时的比值为1。
而楼主所提问题的第一个式子：x/sin(2/x)，这里的x是趋于0。但1/x是趋于无穷大，所以你想想：sin(2/x)，当（2/x)趋于无穷大时的极限是多少？这个极限是不存在的，因为sin(2/x)始终在-1和1之间波动，没有一个固定的趋向。所以这里的x/sin(2/x)，当x趋于0时，不是第一个重要极限。这是一个很容易犯得错误。其实对于x/sin(2/x)，当x趋于0时的极限很好解决。因为有这么一条定理：无穷小和和有界变量的乘积任然是无穷小。所以x/sin(2/x)，当x趋于0时的极限=0。
第二个式子那就是第一个重要极限的变形了。

Answer 2

第一步将原式变为xsin2/x的极限加上2/xsinx的极限，第二步分别将xsin2/x变为2sin2/x比2/x，因为x趋于无穷大，所以2/x趋于0，由重要极限x趋于0，sinx比x的极限值为1，xsin2/x的极限为2，因为无穷小量的性质，2/xsinx的极限为0，综上，该式答案为2.