Question

这样解法错在哪里，已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，

这样解法错在哪里，已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数.
（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ
（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.

Answer 1

1.
证：
ana(n+1)=λSn-1
a(n+1)a(n+2)=λS(n+1)-1
a(n+1)a(n+2)-ana(n+1)=λ[S(n+1)-Sn]=λa(n+1)
a(n+1)[a(n+2)-an]=λa(n+1)
an≠0，a(n+1)≠0，等式两边同除以a(n+1)
a(n+2)-an=λ
2.
a1a2=λS1-1=λa1-1
a2=(λa1-1)/a1=(λ·1-1)/1=λ-1
数列奇数项是以1为首项，λ为公差的等差数列；偶数项是以λ-1为首项，λ为公差的等差数列
a(2n)=λ-1+(n-1)λ=nλ-1
a(2n-1)=1+(n-1)λ
要数列{an}是等差数列，则需要满足
a(2n+1)-a(2n)=a(2n)-a(2n-1)
a(2n+2)-a(2n+1)=a(2n+1)-a(2n)
1+nλ-(nλ-1)=nλ-1-[1+(n-1)]λ
解得λ=4
(n+1)λ-1-(1+nλ)=1+nλ-(nλ-1)
解得λ=4
综上，得存在λ=4满足{an}成等差数列

以上为完整的解题过程，特别是第2问，一般应该顺序解题。当然你的假设方法也不能说错，只是不太好，而且不严谨，不完整。
建议作如下补充：假设存在λ，使{an}成等差数列，若λ有解，则假设正确。
后面跟你的步骤。
最后结论：综上，得存在λ=4满足{an}成等差数列。

追问

你的方法很好，我就是想要一个顺推的，但是没想到，不过标准答案用的也是假设，不过我不知道为什么答案要这么麻烦，为什么不直接像我那样呢

追答

嗯，看到了，标准答案也是假设，这种方法不好。
你的步骤就可以，标准答案也就是比你写的过程更严谨一些。
最好还是按我的方法来做，正方向推导，过程比较顺畅。
如果你学过充分必要条件的话，就会对我的解题过程和标准答案有比较明确的理解了。
我的方法是充分性，即满足条件，数列就是等差数列；而假设的方法是必要性，就是如果是等差数列，得到λ的值是多少，在充分性的证明上有瑕疵，不严谨。

追问

为什么要这样算两次？
a(2n+1)-a(2n)=a(2n)-a(2n-1)
a(2n+2)-a(2n+1)=a(2n+1)-a(2n)
1+nλ-(nλ-1)=nλ-1-[1+(n-1)]λ
解得λ=4
(n+1)λ-1-(1+nλ)=1+nλ-(nλ-1)
解得λ=4

追答

是的。
第一个式子是保证偶数项是前后两个奇数项的等差中项，第二个式子是保证奇数项是前后两个偶数项的等差中项，则整个数列就成等差数列了。本题有解λ=4，因此两个式子解出的结果是一致的。还有的题目，解出的结果不一致，那么就是无解了，就不存在满足题意的λ了。