第10题求解
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首先对极限表达变形化简为
tan(pi/4 +1/x) = [1+tan(1/x)]/[1 - tan(1/x)]
=1 + 2tan(1/x)/[1 - tan(1/x)]
这里借用重要极限表达式 lim(1+ 1/x)^x =e x->∞.
原极限式子变形为 lim tan(pi/4 +1/x)
=lim{ 1 + 2tan(1/x)/[1 - tan(1/x)] } ^([1 - tan(1/x)/2tan(1/x)) *2tan(1/x)/[1 - tan(1/x) *x
=【lim{ 1 + 2tan(1/x)/[1 - tan(1/x)] } ^([1 - tan(1/x)/2tan(1/x)) 】
^ lim2tan(1/x)/[1 - tan(1/x) *x
=e^ lim2x *tan(1/x)/[1 - tan(1/x)] -------这里使用等价无穷小概念
=e^(2x* 1/x) /[1 - tan(1/x)]
=e²
tan(pi/4 +1/x) = [1+tan(1/x)]/[1 - tan(1/x)]
=1 + 2tan(1/x)/[1 - tan(1/x)]
这里借用重要极限表达式 lim(1+ 1/x)^x =e x->∞.
原极限式子变形为 lim tan(pi/4 +1/x)
=lim{ 1 + 2tan(1/x)/[1 - tan(1/x)] } ^([1 - tan(1/x)/2tan(1/x)) *2tan(1/x)/[1 - tan(1/x) *x
=【lim{ 1 + 2tan(1/x)/[1 - tan(1/x)] } ^([1 - tan(1/x)/2tan(1/x)) 】
^ lim2tan(1/x)/[1 - tan(1/x) *x
=e^ lim2x *tan(1/x)/[1 - tan(1/x)] -------这里使用等价无穷小概念
=e^(2x* 1/x) /[1 - tan(1/x)]
=e²
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