Question

一道高中数学数列问题 已知在数列an中： a1=2，a3=10；an+2-2an+1+an=2(n

一道高中数学数列问题
已知在数列an中：
a1=2，a3=10；an+2-2an+1+an=2(n≥1)
(1)求数列an的通项公式
(2)令bn=1/(an+1-2)，求数列bn的前n项和Sn

Answer 1

解：

(1)

a3-2a2+a1=2

a2=(a1+a3-2)/2=(2+10-2)/2=5

a(n+2)-2a(n+1)+an=2

[a(n+2)-a(n+1)]-[a(n+1)-an]=2，为定值

a2-a1=5-2=3

数列{a(n+1)-an}是以3为首项，2为公差的等差数列

a(n+1)-an=3+2(n-1)=2n+1=(n+1)²-n²

a(n+1)-(n+1)²=an-n²

a1-1²=2-1=1

数列{an-n²}是各项均为1的常数数列。

an-n²=1

an=n²+1

n=1时，a1=1²+1=2；n=2时，a2=2²+1=5；n=3时，a3=3²+1=10，均满足表达式

数列{an}的通项公式为an=n²+1

(2)

bn=1/[a(n+1)-2]

=1/[(n+1)²+1-2]

=1/(n²+2n+1+1-2)

=1/(n²+2n)

=1/[n(n+2)]

=½[1/n -1/(n+2)]

Tn=b1+b2+...+bn

=½[1/1- 1/3+ 1/2- 1/4+...+1/n -1/(n+2)]

=½[1+ 1/2 -1/(n+1) -1/(n+2)]

=¾ -1/[2(n+1)] -1/[2(n+2)]

Answer 2

答案见图。

Answer 3