Question

在正方形ABCD中点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O

在正方形ABCD中,点E是AD上一动点MN⊥AB分别交AB，CD于M，N，连接BE交MN于点O,过O作OP⊥BE分别交AB，CD于P，Q。
（1）如图1，当点E在边AD上时，请动手测量三条线段AE，MP，NQ的长度，猜测AE与MP+NQ之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；
（2）如图2，若点E在DA的延长线上，AE，MP，NQ之间的数量关系又是怎样？写出结论
（3）如图3，连接BN并延长，交AD的延长线DG于H，若点E分别在线段DH和射线HG上时在图3中画出符合题意的图形，并判断AE，MP，NQ之间的数量关系又分别怎样？直接写出结论

Answer 1

(1) MP+NQ=AE
(2)AE+MP=NQ

Answer 2

解：（1）如图①结论：AE=MP+NQ．（2分）
证明：过Q作QQ'⊥AB于Q'，
则∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形AMND为矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四边形MNQQ′为矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3分）
在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
∴∠Q′QP=∠ABE，（4分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
∴AE=MP+NQ．（6分）

（2）如图②，若点E在DA的延长线上时，结论AE=QN-MP．（8分）

（3）如图，若点E1在线段DH上时，结论：AE1=MP1+NQ1．（10分）
若点E2在射线HG上时，结论：AE2=MP2-NQ2．（12分）

Answer 3

(1)∵∠1=∠4=∠3,PK=BA,∠BAE=∠PKQ=90°
∴△BAE≌△PKQ
∴AE=KQ=KN+NQ=MP+NQ
(2)NQ=AE+MP
∵∠3=∠2=∠1,PK=BA,∠BAE=∠PKQ=90°
∴△BAE≌△PKQ
∴AE=KQ
∴NQ=QK+KN=AE+MP
(3)没图

Answer 4

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