Question

微积分二重积分计算，要求过程详细写出，可追加悬赏20分

Answer 1

解：由于此双纽线关于原点对称，故原重积分等于该双纽线右半支封闭图像积分的2倍。
考虑用极坐标，也即
x=ρcosθ
y=ρsinθ
代入双纽线方程可得
ρ²=2cos2θ
计算雅可比式得
J=行列式：
cosθ -ρsinθ
sinθ ρscosθ
=ρ

右半支显然有cos2θ≥0，解得
-π/4≤θ≤π/4
于是：
原积分=∫∫|J|ρcosθ*ρsinθdρdθ
=∫∫ ρ³cosθsinθdρdθ
=2∫(-π/4,π/4) [∫(0,ρ(θ))ρ³dρ]*cosθsinθdθ
=∫(-π/4,π/4) 1/4*(2cos2θ)²*sin2θdθ
=-1/2*∫(-π/4,π/4) (cos2θ)²*dcos(2θ)
=0
事实上，第一象限的任意一点(x,y)，在第四象限都有一个关于x轴对称的点(x,-y)，微元面积都是dxdy，但积分数值为xy和-xy，其和自然是0.