Question

已知AB是圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，CE=BE，E在BC上，求证：PE是圆O的切线

Answer 1

证明：

连接BP，则

∠BPC=∠BPA=90°

∵E是BC中点

∴在Rt△BPC中，有

PE=(1/2)BC=BE

连接OP，OE，则

OB=OP，OE=OE，PE=BE

∴△OEP≌△OEB（SSS）

∴∠OPE=∠OBE=90°

即OP⊥PE，且PE和圆交点是P，则

因为过圆上一点且和过此点的半径垂直的直线是切线

∴P是切点，PE是切线

得证

Answer 2

证明如下：
添加：oe od ed 辅助线
根据中位线定理：<EOB=<CAB
又因为：<DAB=1/2<DOB
所以：<DOE=<BOE=1/2<DOB
又因为：OE=OE OD=OB 所以ODB和OBE全等
所以：<ode=<obe=90
因为od为半径 所以de与圆相切
（P点即D点）