Question

二元函数极值证明的充分条件怎么证明，如图，证明说用二阶泰勒，但具体过程能不能帮忙手写一下^_^

Answer 1

f(x,y)=f(x0,y0)+△x f_x'(x0,y0)+△y f_y'(x0,y0)+1/2[(△x)²f_xx'' (ξ,η)+2△x △y f_xy''(ξ,η)+(△y)² f_yy''(ξ,η)]
=f(x0,y0)+1/2[(△x)²f_xx'' (ξ,η)+2△x △y f_xy''(ξ,η)+(△y)² f_yy''(ξ,η)]
→f(x0,y0)+1/2[A(△x)²+2B△x △y +C(△y)² ]
B²-AC＜0时，中括号内符号恒定不变。A<0时,中括号内恒为负数，此时为极大值点。也就是说，在(x0,y0)邻域内，任意变动△x,△y,都会导致函数值变小，因此(x0,y0)是极大值点。A>0时,中括号内恒为正数，此时为极小值点。B²-AC>0时，中括号内符号不确定，因此不是极值点。B²-AC=0时,中括号内大于等于0，可能是极值点，也可能不是极值点。

追问

谢谢啦^_^

问一下这个到下一步为什么没有了

哦，懂了

划线的这个具体怎么考察呀？

追答

V0是什么？

追问

这两张合起来是完整的证明，然后我也是搞不懂v0是什么

追答

V0就是抛物线顶点横坐标值。当V等于V0时，u等于0，函数值不变。此时前面的近似失效，需要考虑更高阶的偏导数。