Question

高中数学数列

Answer 1

解：

(1)

a2+a3、a3+a4、a4+a5成等差数列，则

2(a3+a4)=(a2+a3)+(a4+a5)

(a5-a3)-(a4-a2)=0

(qa3-a3)-(qa2-a2)=0

(q-1)a3-(q-1)a2=0

(q-1)(a3-a2)=0

q≠1，因此只有a3-a2=0

a3=a2=2

a3=qa1

q=a3/a1=2/1=2

数列奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列

a(2n-1)=1·2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹

an=2^[(n-1)/2]

a(2n)=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ

an=2^(n/2)

归纳为统一的形式：an=2^[n/2 -¼+¼·(-1)ⁿ]=2^[(2n-1+(-1)ⁿ)/4]

数列{an}的通项公式为an=2^[(2n-1+(-1)ⁿ)/4]

(2)

bn=log2[a(2n)]/a(2n-1)=log2(2ⁿ)/2ⁿ⁻¹=n/2ⁿ⁻¹

Tn=1/1 +2/2 +3/2²+...+n/2ⁿ⁻¹

½Tn=1/2 +2/2²+...+(n-1)/2ⁿ⁻¹+n/2ⁿ

Tn-½Tn=½Tn=1+½+½²+...+½ⁿ⁻¹-n/2ⁿ

=1·(1-½ⁿ)/(1-½) -n/2ⁿ

=2- (n+2)/2ⁿ

Tn=4- (n+2)/2ⁿ⁻¹