Question

1. 已知：a,b,c,d 都是实数 . 求证： (a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).

Answer 1

证明：若证 (a^2+b^2)(c^2+d^2) ≥(ac+bd).
只要证(a^2+b^2)(c^2+d^2) -(ac+bd).≥0 ，展开
即 (ac)^2-ac+(bc)^2+(bd)^2-bd≥0
(ac-1/2)^2+(bc)^2+(bd-1/2)^2≥1/2
由此可见，
(ac-1/2)^2≥(1/2)^2,(bc)^2≥0, (bd-1/2)^2≥(1/2)^2
所以，
(ac-1/2)^2+(bc)^2+(bd-1/2)^2≥(1/2)^2+(1/2)^2=1/2
得证。

Answer 2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)
= (a^2c^2+b^2d^2)+(a^2d^2+b^2d^2)
≥ (a^2c^2+b^2d^2)+2abcd
= (ac+bd)^2