Question

数列an的前n项和为sn,an与√sn为公差相等的等差数列,求a2

Answer 1

解：

设公差为d

n=1时，a1=S1

an=a1+(n-1)d

n≥2时，

an=Sn-S(n-1)

=[√Sn+√S(n-1)][√Sn-√S(n-1)]

=d[√Sn+√S(n-1)]

=a1+(n-1)d

整理，得

d[√Sn+√S(n-1)-n+1]=a1

d=a1/[√Sn+√S(n-1)-n+1]

(1)

d=0时，a1=0

an=0，Sn=0

√S(n+1)-√Sn=0=d，满足题意。

a2=0

(2)

d≠0时，a1≠0

a1、d为常数，√Sn+√S(n-1)-n+1为常数。

令√Sn+√S(n-1)-n+1=k

√Sn+√S(n-1)=(n-1)+k

√S(n+1)+√Sn=n+k

√S(n+1)-√S(n-1)=2d=1

d=½

√S2-√S1=√(2a1+d)-√a1=d=½

整理，得a1-√a1+¼=0

(√a1-½)²=0

√a1=½

a1=¼

an=a1+(n-1)d=¼+½(n-1)=(2n-1)/4

Sn=[a1+an]n/2=[¼+(2n-1)/4]n/2=n²/4

√S(n+1)-√Sn=√[(n+1)²/4]-√(n²/4)=(n+1)/2- n/2=½=d，满足题意。

a2=(2×2-1)/4=¾

综上，得a2的值为0或¾。