Question

已知函数f(x)=log2[(3x^2+2x+n)\(mx^2+1)](m,n属于R) （1）若m属于N*,x属于R，且f(x)的值域为[1,2],求m,n

已知函数f(x)=log2{(3x^2+2x+n)\(mx^2+1)}(m,n属于R)
（1）若m属于N*,x属于R，且f(x)的值域为[1,2],求m,n的值；
（2）若n=1，且f(x)的值域为R,求m的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=log₂{(3x²+2x+n)/(mx²+1)} (m,n∈R)
（1）若m∈N*, x∈R，且f(x)的值域为[1,2],求m,n的值；
（2）若n=1，且f(x)的值域为R,求m的取值范围
解：（1）∵ 1≤log₂{(3x²+2x+n)/(mx²+1)}≤2
∴ 2≤ (3x²+2x+n)/(mx²+1)≤ 4
由 (3x²+2x+n)/(mx²+1)-2=[(3-2m)x²+2x+n-2]/(mx²+1)≥0
∵m∈N, ∴mx²+1>0,故得(3-2m)x²+2x+n-2≥0
由于x∈R, 故必有 3-2m>0, 即m<3/2,又m∈N⁺,∴m=1........(1)
及△=4-4(3-2m)(n-2)=28-12n+8mn-16m≤0
即有7-3n+2mn-4m≤0,将m=1代入即得：
7-3n+2n-4=3-n≤0,故n≥3.....................(2)
由(3x²+2x+n)/(mx²+1)-4≤ 0
得 [(3-4m)x²+2x+n-4]/(mx²+1)≤0
同理有(3-4m)x²+2x+n-4≤0
∵x∈R,∴必有 3-4m<0, m>3/4, m∈N⁺,结合考虑（1），故m=1.
及判别式△＝4-4(3-4m)(n-4)=52-12n+16mn-64m≤0
即有 13-3n+4mn-16m≤0
将m=1代入得 13-3n+4n-16=-3+n≤0,故n≤3..........(3)
由(2)(3)可知n=3.
结论： m=1； n=3.
（2）若n=1,则f(x)=log₂(3x²+2x+1)/(mx²+1) f(x)∈R
则有(3x²+2x+1)/(mx²+1) >0,
由于分子的判别式△＝4-12=-8<0,故对任何x都有3x²+2x+1>0,故只需mx²+1>0
即只需mx² >-1, 由于x∈R,故必需m≥0.即m∈[0,+∞)

Answer 2

（X-y)²（X+Y）（x+y)

Answer 3

k=1.

Answer 4

第一问
1<=log2{(3x^2+2x+n)\(mx^2+1)}<=2意味着 2^1<=(3x^2+2x+n)\(mx^2+1)<=2^2. 先看左边
2<=(3x^2+2x+n)\(mx^2+1) 意味着 2mx^2+2<=3x^2+2x+n, 也就是说 (3-2m)x^2+2x+n-2>=0 对于所有的实数x。因为如果(3-2m)>=0 (2导大于等于零), 那么函数拥有最小值在x=-1/(3-2m)，所以必然m<=3/2, n>=2+1/(3-2m).

再看右边 <=(3x^2+2x+n)\(mx^2+1)<=4， 意味着 (3-4m)x^2+2x+n-4<=0 对于所有的实数x, 那么必然m>=3/4, n<=4+1/(3-4m). 原因同上。

最终答案 , 3/4<=m<=3/2， 2+1/(3-2m)<=n<=4+1/(3-4m)， 如果要求m属于N*, 那么必然m=1, n=3.

第二问。只要使分母不为零即可。 m>=0