Question

一道高一数学题 求解

关于x的方程x2-2kx+k+6=0的两个实根为α,β,即f(k)=(a-1)2+(β-1)2，求f（k）的定义域和值域。

Answer 1

关于X的方程x^2-2kx+6=0方程有解
△=(2k)²-4×6
=4k²-24
=4(k²-6)
≥0
k²≥6
k≥√6 或 k≤-√6
根据韦达定理：
a+b=2k
a·b=6
则：f(k)=a²-2a+1+b²-2b+1
=(a+b)²-2ab-2(a+b)+2
=4k²-12-4k+2
=4k²-4k-10
=4(k-1/2)²-11
而：-√6<1/2<√6
f(-√6)=4×(-√6)²-4×(-√6)-10=24+4√6-10=14+4√6
f(√6)=4×(√6)²-4×√6-10=24-4√6-10=14-4√6
即：f(k)≥14-4√6
所以，f(k)=4k²-4k-10
定义域是：(-∞，-√6]∪[√6，+∞)
值域是：[14-4√6，+∞)