线性代数，证明题，27题
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因为B与A相似，则
存在可逆矩阵P，使得
B=P^-1AP
(a)
B+αI=P^-1AP+αI
=P^-1AP+αI(P^-1P)
=P^-1AP+P^-1αIP
=P^-1(A+αI)P
因此B+αI与A+αI相似
(b)
B^T=(P^-1AP)^T
=P^TAT(P^-1)^T
=P^TAT(P^T)^-1
因此B^T与A^T相似
(c)因为A非奇异，则P^-1AP非奇异
即B=P^-1AP非奇异
B^-1
=(P^-1AP)^-1
=P^-1A^-1(P^-1)^-1
=P^-1A^-1P
因此B^-1与A^-1相似
存在可逆矩阵P，使得
B=P^-1AP
(a)
B+αI=P^-1AP+αI
=P^-1AP+αI(P^-1P)
=P^-1AP+P^-1αIP
=P^-1(A+αI)P
因此B+αI与A+αI相似
(b)
B^T=(P^-1AP)^T
=P^TAT(P^-1)^T
=P^TAT(P^T)^-1
因此B^T与A^T相似
(c)因为A非奇异，则P^-1AP非奇异
即B=P^-1AP非奇异
B^-1
=(P^-1AP)^-1
=P^-1A^-1(P^-1)^-1
=P^-1A^-1P
因此B^-1与A^-1相似
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