Question

若不等式x²-2mx+2m+1>0,对满足0≤x≤1的所有实数x都成立,求m的取值范围

Answer 1

JK男人，你好：

解析：设f（x）＝x^2－2mx＋2m＋1．

“不等式x^2－2mx＋2m＋1＞0对满足0≤x≤1的所有实数x都成立”等价于：
“函数f（x）在0≤x≤1上的最小值大于0”。
而f（x）的对称轴为x＝m，原问题又化归为二次函数的动轴定区间的分类讨论问题。

（1）当m＜0时，f（x）在〔0，1〕上是增函数，因此f（0）是最小值，则有：
m＜0且f（0）＝2m＋1＞0，解之得：－1/2＜m＜0

（2）当0≤m≤1时，f（x）在x＝m时取得最小值，则有：
0≤m≤1且f（m）＝－m^2＋2m＋1＞0，解之得：0≤m≤1

（3）当m＞1时，f（x）在〔0，1〕上是减函数，因此f（1）是最小值，则有：
m＞1且f（1）＝2＞0，解之得：m＞1

综合（1）（2）（3）得m＞－1/2