Question

初中数学题目 不会做 求解答

如果a,b,c是三个任意的整数，那么在2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a这三个数中至少会有几个整数？请利用整数的奇偶性简单说明理由.

Answer 1

至少有一个。用反证法证明
假设一个都没有，则a+b,b+c,a+c都是奇数
两个整数相加为奇数。则必有一个为 偶，一个为奇。
设a为偶，由a+b为奇==>b为奇 ==>c为偶==>a+c为偶
结果相矛盾，故至少有一个为整数

Answer 2

首先，我们要知道，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数
（1）假设a,b,c中有3个偶数，则a+b，b+c，c+a都是偶数，所以2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a都是整数
（2）假设a，b，c中有2个偶数，1个奇数，则a+b，b+c，c+a中有1个偶数，2个奇数，所以2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a只有1个整数
（3）假设a，b，c中有1个偶数，2个奇数，则a+b，b+c，c+a中有1个偶数，2个奇数，所以2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a有1个整数
（4）假设a，b，c都是奇数，则a+b，b+c，c+a中有1个偶数，2个奇数，所以2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a有1个整数

所以
2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a这三个数中至少会有1个整数

Answer 3

假设abc分别为偶偶偶，则三个数全为整数。
假设为奇偶偶，则2分之奇加偶为奇，所以只有一个整数。
假设为奇奇偶，则同理只有一个整数。
假设为奇奇奇，则有三个整数。

所以至少会有一个。

Answer 4

奇数+奇数=偶数+偶数=偶数 偶数+奇数=奇数
所以abc全为偶数或全为奇数时 2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a全是整数
abc中只有一个奇数或只有一个偶数时 2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a中只有一个整数
所以2分之a+b，2分之b+c，2分之c+a中至少有一个整数