Question

求不定积分∫1+X的平方分之X的平方

Answer 1

具体回答如下：

∫ x²/(1 + x²)² dx，令x = tanz，dx = sec²z dz

= ∫ tan²z/sec⁴z · sec²z dz

= ∫ tan²z · cos²z dz

= ∫ sin²z dz

= (1/2)∫ (1 - cos2z) dz

= (1/2)[z - (1/2)sin2z] + C

= (1/2)arctan(x) - (1/2)[x/√(1 + x²)][1/√(1 + x²)] + C

= (1/2)arctan(x) - x/[2(1 + x²)] + C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

将式子分开之后，
再使用基本积分公式即可
∫x^2 /(1+x^2) dx
=∫1 -1/(1+x^2) dx
=x -arctanx +C，C为常数