Question

已知:如图,两个半径长为r的等圆⊙O1和⊙O2外切与点P,A是⊙O1上的一点,BP⊥AP,BP交⊙O2于点B.求证:AB=2R.

Answer 1

证明：等圆⊙O1和⊙O2外切与点P，所以O1，O2和P点在同一条直线，设此直线交
⊙O1于点T，交⊙O2于点S
联结AT,BS，
由题意知：∠APB=90°，所以∠APT+∠BPS=90°，又因为TP为⊙O1的直径，所以∠TAP=90°，
所以有∠APT+∠ATP=90°，故而∠ATP=∠BPS
同理：∠APT=∠BSP，
又：TP=PS=2R，所以△TAP≌△PBS（ASA）所以TA=PB--①
在△TAP中，
由于TA^2+AP^2=TP^2，所以代入①有：PB^2+AP^2=TP^2
在△ABP中，
用勾股定理得：AB^2=PB^2+AP^2，
所以AB=TP=2R