Question

帮忙算一下数学题

已知集合P=[1/2,2],，函数y=log2(ax^2-2x+2)的定义域为Q,
1.若P∩Q≠空集，求实数a取值范围。
2 若方程log2(ax^2-2x+2)=2在[1/2,2]上有解，求实数a的取值范围？

Answer 1

1、令f(x)=ax^2-2x+2
要使log2(ax^2-2x+2)有意义，必须使ax^2-2x+2>0
当a>0 时，f(x)是开口朝上的二次曲线，且分为两类
第一类f(x)在最低点大于0，因此不管x取任何值，f(x)恒大于0，因此ax^2-2x+2的判别根式<0
4-4*2*a<0
4<8a
a>1/2
第二类f(x)在最低点小于等于0，因此它在一段区间上小于0，此时考虑怎样取a使得P∩Q=空集，然后取它的补集会更方便
由二次函数求根公式，可以知道，在 [1-根号(1-2a)]/a < x <[1+根号(1-2a)]/a 这段区间上ax^2-2x+2<0，要使P∩Q=空集，必须使P包含于这段区间，由此得到：
[1-根号(1-2a)]/a <=1/2 且 [1+根号(1-2a)]/a >=2
由前一个式子算得 -4<a<0，而此时a必须满足0<a<=1/2，因此这样的a不存在，也就是使得P∩Q=空集的a不存在，因此在0<a<=1/2时，P∩Q≠空集
综合来看，当a>0时P∩Q≠空集。

当a=0 时，f(x)= -2x+2 ，由f(x)>0 求得 x<1，因此P∩Q≠空集

当a<0时，f(x)是开口向下的二次曲线，而且因为根式判别式 4-4*2*a 始终大于0，因此f(x)只有一类，在中间一段区间上大于0，在两侧直至正负无穷大的区间上小于0，此时也考虑怎样取a使得P∩Q=空集，然后取它的补集。
小于等于0的取值范围是 x<=[ -1-根号(1-2a)]/(-a) 和 x>=[ -1+根号(1-2a)]/(-a)
在[ -1-根号(1-2a)]/(-a)>2 或 [ -1+根号(1-2a)]/(-a) <1/2 时P∩Q=空集
由前一个式子算得a<0，由后一个式子算的a<= - 4，因此a<= - 4时P∩Q=空集
那么取它的补集，也就是 - 4<a<0 时P∩Q≠空集
综上所述，实数a取值范围是a> - 4

2、log2(ax^2-2x+2)=2
ax^2-2x+2=4
ax^2-2x-2=0
若a=0，则在[1/2,2]上-2x-2恒小于0，无解！
因此a≠0
x1=[1-根号(1+2a)]/a
x2=[1+根号(1+2a)]/a
因此只要1/2<= [1-根号(1+2a)]/a <=2 或1/2<= [1+根号(1+2a)]/a <=2 即可
当a>0，1+2a>1，因此 x1<0，只能考虑x2
由[1+根号(1+2a)]/a <=2 算得 a>=3/2
由1/2<= [1+根号(1+2a)]/a 算得 0<a<=12
因此3/2<=a<=12 时方程在[1/2,2]上有解。

当a<0，明显 x2<0，因此只考虑x1
由 [1-根号(1+2a)]/a <=2 算得a<0
由1/2<= [1-根号(1+2a)]/a 算得 a无解
因此a<0时方程在[1/2,2]上无解
综上所述，实数a的取值范围是3/2<=a<=12