Question

这个洛必达法则的推导不太明白

这个洛必达法则的推导不太明白画红圈部分不知道依据在哪里 求解释谢谢

Answer 1

答：

先说问题，再给你建议！

1、这是极限定义的应用，先仔细审视g(x)和f(x)的条件：在x0的某个去心领域内有定义且可导！

2、明白了上述定义后，那么令：x1=x0+δ0，δ0>0，此时，在(x0,x1)满足柯西中值定理，选取区间(x,x1),应用柯西中值定理！

3、明白了2后，由柯西中值定理和题设，可以得出：

|[f(x)-f(x1)]/[g(x)-g(x1)] - A| ＜ε/4

但是上式和f(x)/g(x)没有关系，因此，如果能将上式和f(x)/g(x) - A联系起来，那么就好证明了！利用凑形法，下述等式可以恒等变换：

f(x)/g(x) - A

=[f(x1)-Ag(x1)]/g(x)  +  {1-[g(x1)/g(x)]}·{[f(x)-f(x1)]/[g(x)-g(x1)] - A}

∵lim(x→x0) g(x)=∞

即：x→x0时，g(x)是任意大，可以取任意值，那么必定∃δ1>0，使得：0<x-x1<δ1时：

|{1-[g(x1)/g(x)]}|<2

|[f(x)-f(x1)]/[g(x)-g(x1)] - A| <ε/2

那么，

|f(x)/g(x) - A|<ε

4、也就是说，上述证明利用了lim(x→x0) g(x)=∞时的g(x)可以取值的任意性！

总结：

上述证明实际上是非常傻X的证明，但是不知道为什么一直沿用，同济版高数没有给出∞/∞的证明，实际上你自己可以利用0/0就完全可以证明了，而0/0的证明却非常简单！

建议你：

1、虽然上述证明可以证明定理，但是诟病非常多，因为取值的任意性带来的并不是唯一性和充分性的严格推导；

2、能看懂上述证明即可，尝试用0/0型证明∞/∞，掌握这种方法！