Question

已知a、b、c为不全相等的正数，且abc=1，求证：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

Answer 1

证明 ：由题意知 右边=bc+ac+ab =(bc+ac)/2+(bc+ab)/2+(ac+ab)/2>=√c√abc+√b√abc+√c√abc
=√a+√b+√c 当且仅当a=b=c时 等号成立 又abc不全相等 所以 不能取等号
即 ：√a+√b+√c<1/a+1/b+1/c

Answer 2

右边，把1换成abc
这样右边=bc+ac+ab=1/2*(2bc+2ac+2ab)=1/2*[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]=1/2*[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]>=1/2*[a*2*根号(bc)+b*2*根号(ac)+c*2*根号(ab)]=a*根号(bc)+b*根号(ac)+c*根号(ab)=a*根号(1/a)+b*根号(1/b)+c*根号(1/c)=根号a+根号b+根号c
因为abc不相等，所以a+c>=2*根号ac,b+c>=2*根号bc,b+a>=2*根号ba,等号不同时取得，所以原式得证

Answer 3

右边的1用根号abc代掉,再用排序不等式就可以了