Question

在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=2sinBcosC,试确定△ABC的形状

不要复制的盗版，需原创。本人所见过的答案几乎都有错，所以请仔细！
知道了

Answer 1

(b+c)²-a²=3bc
b²+c²-a²=bc
所以cosA=(b²+c²-a²b²+c²-a²)/2bc=bc/2bc=1/2
A=60度

sinA=2sinBcosC
a/sinA=b/sinB
所以有a=2bcosC
a=2b*(a²+b²-c²)/2ab
a²=a²+b²-c²
b²-c²=0
b=c
是等腰三角形，且A=60度
所以是等边三角形

Answer 2

(a+b+c)(b+c-a)=3bc
[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc
(b+c)^2-a^2=3bc
b^2+2bc+c^2-a^2=3bc
b^2-bc+c^2=a^2
根据余弦定理有a^2=b^2+c^2-2bccosB
b^2-bc+c^2=b^2+c^2-2bccosB
bc=2bccosB
cosB=1/2
B=60度
sinA
=2sinBcosC
=√3cosC
=-√3cos(A+B)
=-√3cos(A+60)
=-√3(cosAcos60-sinAsin60)
=-√3(cosA/2-√3sinA/2)
=-√3cosA/2+3sinA/2
所以
sinA =√3cosA
A=60度
C=180-60-60=60度
等边三角形

Answer 3

(1)由(a+b+c)(b+c-a)=3bc
==>(b+c)^2-a^2=3bc
==>b^2+c^2=a^2+bc
得到ABC是锐角三角形
(2)由sinA=2sinBcosC
==>sin(B+C)=2sinBcosC
==>cosBsinC=sinBcosC
==>tgC=tgB
==>B=C
由此可以知道，三角形ABC是等腰三角形，b=c
返回(1)的结果来看：b^2+c^2=a^2+bc
==>a^2=b^2
==>a=b
综上，三角形ABC是等边三角形