Question

在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,角A,B,C成等差数列,a=8,b=7,则cosC=

思路详细，本人基础差

Answer 1

在△ABC中,内角和等于180°，角A,B,C成等差数列，所以∠B=1/2（∠A+∠C）=60°，sinB=√3/2
a=8,b=7,a＞b，a,b,c是角A,B,C的对边，所以∠A＞∠B
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
8/sinA=7/sin60°，sinA=4√3/7

sinA=4√3/7，cosA=1/7或-1/7，sinB=√3/2，cosB=1/2

两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cosC= cos（180°-A-B）=- cos（A+B）=-（cosA·cosB-sinA·sinB ）=11/14或13/14

当 cosC=11/14时，cosC＜cosB，因为角B、C必是锐角，∠C＞∠B，与角A,B,C成等差数列不符，应舍去
所以sinA=4√3/7，cosA=-1/7，sinB=√3/2，cosB=1/2，cosC=13/14

Answer 2

因为角A、B、C成等差数列，所以有∠A+∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°可得∠B=60°
cosB=1/2，又根据余弦公式cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，带入数值可得1/2=（64+c^2-49)/(16c)可得c=3或c=5，在利用余弦公式cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)可得cosC=13/14或者11/14