Question

如何证明收敛数列必定为有界数列？

Answer 1

设数列{a[n]}收敛于a，由定义知存在正整数M，使得当n>M时|a[n]-a|<1，或者说a-1<a[n]<a+1
于是min{a[1]，a[2]，...，a[M]，a-1}<=a[n]<=max{a[1]，a[2]，...，a[M]，a+1}，即{a[n]}有界。

如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

扩展资料：

数列有极限的必要条件：数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。

对一切n 有Xn≤M 其中M是与n无关的常数 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。

对一切n 有Xn≥m 其中m是与n无关的常数 称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。

参考资料来源：百度百科--收敛数列

参考资料来源：百度百科--有界数列

Answer 2

设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,

使得当n>M时|a[n]-a|<1,或者说a-1

于是min{a[1],a[2],...,a[M],a-1}<=a[n]<=max{a[1],a[2],...,a[M],a+1},

即{a[n]}有界.

一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。

扩展资料

1、有界数列的应用:

数列有极限的必要条件：

数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界=>数列有极限。

2、函数的有界性：

函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

Answer 3

设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|<1,或者说a-1于是min{a[1],a[2],...,a[M],a-1}<=a[n]<=max{a[1],a[2],...,a[M],a+1},即{a[n]}有界.

我具体证明不会，但可以用一个特殊情况来验证这个功利的正确性，
因为找不到反例推翻这个结论，找不到一个收敛数列不是有解数列的例子，
所有收敛数列分为又结合误解，
找不到无解的收敛数列，那么剩余的收敛数列都是有解的，
无界的收敛数列是不存在的，排除掉，2个排除掉一个，那么只剩下1个，有解和误解排除掉无解，是有解
eg:an=10+1/n(n:N*)
limn趋向于无穷an=10,无限接近于10，是收敛数列，但是取不到10，因为n>=1>0,n>0,1/n>0an>10,>10区域10，则是>10,
n>=1,nmin=1,amax=10+1=11
(10,11]
值域为（10,11]是有界数列

或者an=3,是常数列，
liman=lim3=3
是收敛数列，
常数列的值域为{3}
是有解得，
所以符合这个公里。

追问

你这个开头我在百度里搜到了，没看懂

Answer 4

数列{xn}收敛，根据收敛数列的定义，如果存在常数a，对于任意给定的ε＞0，为了方便理解，取ε=1，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式
|xn-a|＜1
成立，于是，重点来了！当n＞N时，
|xn|=|(xn-a)+a|≤|xn-a|+|a|＜1+|a|
(当n＞N时，|xn|＜1+|a|，这不就是有界的定义吗？但注意是n＞N时有界，那么n≤N时，有界吗？别急，马上证明)
前面已经证明n＞N有界，即是|xN+1|，|xN+2|，...组成的数列是有界的，取小于等于N的数列|x1|，|x2|，...，|xN|，加上大于N时证明有界的数1+|a|，取它们之中的最大值，即是M=max{|x1|，|x2|，...，|xN|，1+|a|}，M是不是比{xn}任何数都要大？因为|xn|＜1+|a|，那么M至少大于等于1+|a|，于是数列{xn}中的一切xn都满足不等式：|xn|＜M(等号爱加不加，没影响).

Answer 5

收敛数列的极限等于函数极限，函数极限有局部有界性定理，证毕

追问

局部有界性？

追答

对啊，函数极限的特性啊，局部保号性，局部有界性