Question

急求一道高中数学题详解~！

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1中点，点N在A1C1上，且|A1N|=3|NC1|,求MN的长

Answer 1

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1中点，点N在A1C1上，且|A1N|=3|NC1|,求MN的长。
解：就用你的图,照下面的文字添线：
联接AC和BD,其交点O就是底面正方形的中心，再连B₁D₁,其与A₁C₁的交点O₁就是上底面的中心,再联接OO₁,必与BD₁相交于M,在RT△MO₁N中，
│MO₁│=a/2, │ A₁N │/│NC₁│ =3/1,
故 [│ A₁N │+│NC₁│]/│NC₁│=│A₁C₁│/│NC₁│=4,
即│NC₁│=│A₁C₁│/4
故│A₁N│=(3/4)│A₁C₁│=(3√2/4)a,
│NO₁│=│A₁N│-│A₁O₁│=(3√2/4)a-(√2/2)a=(√2/4)a
∴│MN│=√[│MO₁│²+│NO₁│²]=√[a²/4+a²/8]=(√6)a/4.

Answer 2

设a=4 (等下算出来乘以a/4就好了，打字比较方便）
M(2,2,2) N(1,3,4)
|MN|=根号(1^2+1^2+2^2)=根号6
所以实际上等于四分之根号六a

Answer 3

过N向A1D和D1C1分别作垂线，可以得到N(a/4,3a/4,a),又M(a/2,a/2,a/2),

再用两点间距离公式得到MN=4分之根号6a

Answer 4

取A1C1中点为O，易知MO垂直A1C1
然后勾股定理，MN长应该是 4分之根号5a