Question

已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+1/2（a+b)=0是否有两个整数根?如果有，把它们求出来，如果没

已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+1/2（a+b)=0是否有两个整数根?如果有，把它们求出来，如果没有，请给出证明。

Answer 1

假设存在两整数根为x1,x2
那么有x1+x2=ab>0; x1x2=1/2(a+b)>0
所以可以先得出x1>0,x2>0。即如果存在两整数根，则两根必为正整数。

讨论：
易知只有当a,b 中至少有一个等于1时，a+b≥ab；不妨设a=1。
但是此时仍有1/2(a+b)=1/2(1+b)≤b=ab (当且仅当b=1时等号成立)
其余情况下都有1/2(a+b)<a+b≤ab
所以无论a，b取何值，都有1/2(a+b)≤ab (当且仅当a=b=1时等号成立)
所以易得出：x1x2≤x1+x2
因为x1,x2是正整数，根据同样的分析可以知道上式成立当且仅当x1=1或者x2=1时。
不妨设x1=1，则有x2=1/2(a+b)
因此1+1/2(a+b)=ab
化简得2+a+b=2ab （这就是假设存在两整数根条件下a，b必须满足的关系式）
易知这个等式只有两对正整数解，即a=1，b=3或者a=3，b=1
此时相应的解为x1=1，x2=2

以上推导过程都是可逆的，因此
方程x^2-abx+1/2（a+b)=0存在两个整数根（1，2），当且仅当(a，b)=(1，3) 或者(3，1)。