Question

一道高中数学圆的题

求过直线2x-y+3=0和圆x2+y2+2x－4y+1=0（X2 Y2是X Y的二次方）的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.
（1）过原点；
（2）有最小面积.
没有过原点，只有最小面积
能用别的方法吗？这个方法用过了，要求两种以上，谢谢大家了

Answer 1

弦长为所求圆的直径时，圆面积最小，
圆x2+y2+2x－4y+1=0 圆心 为（-1,2）， 过此点且 与 直线2x-y+3=0 垂直 的线相交的点即为所求圆的圆心（-3/5,9/5），
再用弦长公式求得直径为：√ （1+k^2） |x1-x2| =√ (1+3^2) √ [(x1+x2)^-4 x1x2 ]
后面自己算吧，
知道半径，圆心还不会算吗》？

Answer 2

利用圆系的知识会很方便：
过圆C1：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0与直线L：Ax+By+C=0的焦点的圆C2方程为：
x^2+y^2+Dx+Ey+F+p(Ax+By+C)=0，即圆C1+pL=0
只含有一个未知数p，现在要使圆C2过原点或使圆C2面积最小都很容易做了。

补充：圆系还有几条结论，自己去问问老师吧，这些能使做题方便快捷的结论最好是能记住。

Answer 3

用圆系方程，这样的圆可以表示为x^2+y^2+2x-4y+1+A(2x-y+3)=0
第一问直接带入（0，0）得到A
第二问通过配方配出圆的标准形式，可以得到圆半径R关于A的关系式，找到使得R最小的A，带入即可

Answer 4

圆系方程为
t(2x-y+3)+x^2+y^2+2x-4y+1=0
x^2+(2t+2)x+y^2-(t+4)y+3t+1=0
(x+(t+1))^2+(y-(t/2+2))^2=(t+1)^2+(t/2+2)^2-3t-1=t^2+2t+1+t^2/4+2t+4-3t-1=5/4t^2+t+4
右式=5/4(t^2+4/5t)+4=5/4(t+2/5)^2+19/5，t=-2/5时半径最小，面积最小
方程为x^2+6/5x+y^2-18/5y-1/5=0

Answer 5

设直线2x-y+3=0和圆x2+y2+2x－4y+1=0的交点为A,B
最小面积的圆则为以AB为直径的圆