Question

为什么张宇老师说 在反常积分中 上下限分别为正无穷和负无穷的时候 奇函数的积分值不一定为0

为什么张宇老师说 在反常积分中 上下限分别为正无穷和负无穷的时候 奇函数的积分值不一定为0 而我做概率的时候 可以直接认定奇函数在负无穷到正无穷的积分为0

Answer 1

因为定理中要求0到正无穷收敛，才能积分为0，所以发散时，反常积分不存在。
概率论中，fx积分和为1，不可能发散，所以积分为0。

定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分，由于它异于通常的定积分，故称之为广义积分，也称之为反常积分。

Answer 2

比如1/x是奇函数，中间有间断点0，从负无穷到正无穷，对其进行积分，要拆成两段儿计算，从负无穷到零的积分结果发散，所以发散。概率里面，连续型随机变量的概率密度一定是连续的而且有界，所以对奇函数积分一定是0。

追问

谢谢😊

Answer 3

还好年代不是特别久远，咳咳。
我也因为好奇奇函数是否反常积分必为零，搜到了这个题，结论如此，反推特例。
因为定理中要求0到正无穷收敛，才能积分为0，所以发散时，反常积分不存在。
概率论中，fx积分和为1，不可能发散，所以积分为0。

Answer 4

这个应该用标准正太期望等于0解释吧