Question

导数问题。在线等

已知函数f(x)=ax³+bx+c(a≠0)为奇函数，其图像在点（1，f(1) ）处的切线与直线x-6y-7=0,垂直，导数f′(x)的最小值为-12
（1）求a,b,c的值
（2）求函数f(x)在[-1,3]的最大值和最小值？

Answer 1

首先
f(x)=ax³+bx+c(a≠0)为奇函数，所以f(0)=0，所以c=0
其次
f(x)图像在点（1，f(1) ）处的切线与直线x-6y-7=0,垂直
f'(1)=-6
f'(x)=3ax^2+b，所以3a+b=-6
最后
导数f′(x)的最小值为-12
因为f'(x)的定义域是R，所以最小值不可能是端点（因为没有端点），所以最小值一定是f'(x)的极值，极值一定是一阶导数为0，即f"(x)=0
f"(x)=6ax=0，因为a≠0，所以x=0，即f‘(X)在x=0处取最小值-12
所以f'(0)=3ax^2+b=b=-12，所以b=-12
又因为3a+b=-6
所以a=2
综上所述a=2，b=-12，c=0为所求

f(x)=2x^3-12x
f'(x)=6x^2-12,令f’(x)=0,所以x=±√2
f(-1)=10
f(3)=18
f(-√2)=8√2
f(√2)=-8√2
f(√2)<f(-1)<f(-√2)<f(3)
所以在[-1,3]上最大值是f(3)=18,最小值是f(√2)=-8√2

Answer 2

1.奇函数经过(0,0)点，所以c=0，f(x)=ax³+bx
f'(x)=3ax^2+b, 最小值为b=-12
f'(1)=3a-12
直线x-6y-7=0的斜率为1/6，所以f'(1)=3a-12=-6, a=2
所以a=2, b=-12, c=0
2. y=2x³-12x的导数为y‘=6x^2-12，设y'=0，解得x=根号2或者-根号2
在[-1,3]的最大值和最小值可能产生于x=-1, x=根号2, x=3中，分别带入得
x=-1, y=10
x=根号2, y=-8根号2，≈-11.2
x=3, y=18
所以x=根号2时有最小值y=-8根号2
x=3时有最大值y=18