Question

五年级培优题,两题,望今晚前解决,劳驾!

1.假设n盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动"n-1"个开关,能否把所有的灯都关上?请证明此结论,或给出一种关灯的办法.

2.线段AB有两个端点,一个端点染红色,另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n个交点,或染红色,或染蓝色,得到n+1条小线段(不重叠的线段).求证:两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数.

Answer 1

（1）如果N是偶数，就能。如果N是奇数，就不能。
先给开关排号：a1,a2,a3,...an.
第1次拉：a1,a2,a3,...a(n-1).
第2次拉：a2,a3,...a(n-1),an.
第3次拉：a3,a4...a(n-1),an.a1
第4次拉：a4,a5,...an,a1,a2
..............
第(n-1)次拉：a(n-1),an,a1,a2...a(n-3)
第n次拉：an,a1,a2,a3,...a(n-2)

n*(n-1)=(n-1)*n
这样的拉N次的话，每个开关都拉了（n-1)次。

如果N是偶数，n-1就是奇数，奇数次拉开关就把灯都关了，

如果N是奇数，n-1就是偶数，偶数次拉开关就把灯都开了，
如果N是偶数，就能。如果N是奇数，就不能。
先答一题哈