Question

f(z)=e^x(cosy+isinx)在何处解析,并求出其导数

Answer 1

f(z)=e^x(cosy+isinx)
设：
u=e^xcosy，v=e^xsinx
则
u|x=e^xcosy，u|y=-e^xsiny;
v|x=e^xsinx+e^xcosx，v|y=0.
当u|x=v|y的时候，即e^xcosy=0，进一步cosy=0，siny=±1.
当u|y=-v|x，则-e^xsiny=-e^xsinx-e^xcosx，即：
sinx+cosx=siny=±1。
sin(x+π/4)=±√2/2
x=kπ+nπ/2，n，k∈z。
即函数在y=kπ+π/2，且x=kπ+nπ/2时处解析。

导数为：
f'(z)=u|x+v|x*i=0+e^xsinyi
=sin（kπ+π/2）*e^(kπ+nπ/2)*i，其中n，k∈z。