Question

已知函数f(x) =x^3-x, 1,求曲线y=f(x)过点(1,0)的切线方程

2,若过x轴上的点(a,0)可以作曲线y=f(x)的三条切线，求a的取值范围

Answer 1

1、
点(1,0)在曲线y=f(x)=x^3-x上，对函数f(x)求导有
f'(x)=3x^2-1，因此f'(1)=2
所以曲线y=f(x) =x^3-x过点 (1,0) 的切线的斜率是2
求得切线方程是：y=2x-2

2、
设P(m, m^3-m)是函数f(x)=x^3-x上一点，其切线是
y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m)
切线过点(a,0)，即有0-(m^3-m)=(3m^2-1)(a-m)
整理得：2m^3-3am^2+a=0
设m=n+a/2，可将上述关于m的一元三次方程转化为关于n的一元三次方程：
n^3+pn+q=0，其中p=(-3/4)(a^2)，q=-(a^3)/4+a/2
根据条件，上述关于n的一元三次方程有三个不同的实根，由卡尔丹判别法可知：
当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根
将p=(-3/4)(a^2)，q=-(a^3)/4+a/2带入不等式并化简得到：
a^2-a^4<0
解得：a>1或者a<-1
即：a∈(-∞, -1)∪(1, ∞)

Answer 2

1.
f(x)=x^3-x
f'(x)=3x^2-1
f'(1)=2
即在(1,0)的切线的斜率是2
所以方程是 y=2(x-1)
2.
f(x)=x^3-x=x(x+1)(x-1)，有三个零，0，1，-1
f'(x)=3x^2-1
f'(x)=0时，解得 x=±√3/3
这时 f''(x)=6x
x=0，是凸凹的拐点。
x=√3/3 时，f''(x)>0，曲线下凹
x=-√3/3 时，f''(x)>0，曲线上凸
a在零点之间会有一条切线
a在零点之外会有三条切线
所在以 a>1 或者 a<-1
即 a∈(-∞,1)∪(1,+∞)