Question

已知a+b+c=0,试求a^2/(2a^2+bc)+b^2/(2b^2+ac)+c^2/(2c^2+ab)的值

由已知a=-(b+c)可得2a^2+bc=a^2-a(b+c)+bc=(a-b)(a-c)
a^2/(2a^2+bc)+b^2/(2b^2+ac)+c^2/(2c^2+ab)
＝a^2/(a-b)(a-c)+b^2/(b-a)(b-c)+c^2/(c-a)(c-b)
=[a^2(b-c)+b^2(a-c)+c^2(a-b)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=1 为什么等于1？，分子分母展开哪里一样？
=[a^2(b-c)+b^2(a-c)+c^2(a-b)]/(a-b)(a-c)(b-c)
我只想知道展开为什么会等于1

Answer 1

你以上的计算过程出错在第二步，也就是倒数第二步上。
在分母通分的时候，你可能把正负号的变化给忽略掉了，b^2(a-c)这一项前面应该是负号。
正确的通分式如下：
a^2/(a-b)(a-c)+b^2/(b-a)(b-c)+c^2/(c-a)(c-b)
=[a^2(b-c)-b^2(a-c)+c^2(a-b)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=(ba^2-ca^2-ab^2+cb^2+ac^2-bc^2)/(a-b)(a-c)(b-c)
=[(a-b)ab-c(a^2-b^2)+c^2(a-b)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=[(a-b)(ab+c^2+c^2)]/(a-b)(a-c)(b-c) (这一步借用了a+b+c=0的条件）
=[(a-b)(ab+2c^2)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=[(a-b)(c-a)(c-b)]/(a-b)(a-c)(b-c) (这一步又借用了a+b+c=0的条件来分解因式）
=1

Answer 2

由已知a=-(b+c)可得2a^2+bc=a^2-a(b+c)+bc=(a-b)(a-c)
a^2/(2a^2+bc)+b^2/(2b^2+ac)+c^2/(2c^2+ab)
＝a^2/(a-b)(a-c)+b^2/(b-a)(b-c)+c^2/(c-a)(c-b)
=[a^2(b-c)+b^2(a-c)+c^2(a-b)]/(a-b)(a-c)(b-c)
=1 为什么等于1？，分子分母展开哪里一样？

Answer 3

额，你说的是对的。只要把分子，分母都展开。你会发现它们都等于：a^2b+ab^2-a^2c-b^2c+ac^2-bc^2。

Answer 4

你可以用赋值法 a=1 b=-1 c=0 由此可知答案为1