Question

已知平行四边形ABCD中（1）如图1，若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形。

已知平行四边形ABCD中（1）如图1，若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形。（2）若AE、CF分别是角DAB、角BCD的平分线。求证：四边形AFCE是平行四边形。（3）如图2，在（1）的基础上，连接BE，DF，分别交FC、EA于点G、H，求证：四边形EHFG为平行四边形

Answer 1

（1）

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，DC//AB（平行四边形对边平行且相等），

∵DE=BF，

∴DC-DE=AB-BF，

即EC=AF，

∵EC//AF，

∴四边形AFCE是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

（2）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠BCD（平行四边形对角相等），

DC//AB（平行四边形对边平行），

∴∠DEA=∠EAB（两直线平行，内错角相等），

∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，

∴∠EAB=1/2∠DAB，

∠DCF=1/2∠BCD，

∴∠EAB=∠DCF（等量代换），

∴∠DEA=∠DCF（等量代换），

∴AE//CF（同位角相等，两直线平行），

∵EC//AF，

∴四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.

（3）

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，DC//AB，

∵DE=BF，DE//BF

∴四边形DEBF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∴DF//EB，即HF//EG，

∵四边形AFCE是平行四边形（①中已证），

∴AE//CF，即EH//GF，

∴四边形EHFG是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.