二面角为什么是法向量的夹角
1个回答
展开全部
法向量
法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量;因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行。从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。
如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量;如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量;步骤如下:首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量ab(x1,y1,z1)和cd(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。
法向量的主要应用如下:
1、求斜线与平面所成的角:求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行;
2、求二面角:求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补;
3、点到面的距离:
任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影;如点b到平面α的距离d=|bd·n|/|n|(等式右边全为向量,d为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作。只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候。
法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量;因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行。从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。
如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量;如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量;步骤如下:首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量ab(x1,y1,z1)和cd(x2,y2,z2)。由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的)。为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的。因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的。
法向量的主要应用如下:
1、求斜线与平面所成的角:求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余。利用这个原理也可以证明线面平行;
2、求二面角:求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补;
3、点到面的距离:
任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影;如点b到平面α的距离d=|bd·n|/|n|(等式右边全为向量,d为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离
法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作。只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候。
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是?
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询