Question

将函数f(x)=lnx展开成x-1的幂级数

Answer 1

1/(1-x) = 1+x+x^2+...+x^n+...

integral from 0 to x,

ln(1-x) = x+x^2/2+...+x^n/n+...

lnx = ln(1-(1-x)) = (1-x)+(1-x)^2/2 + ... + (1-x)^n/n + ...

Answer: lnx = -(x-1)+(x-1)^2/2 + ...+ (-1)^n(x-1)^n/n+..., n from 1 to infinity

根据对数换底公式lgx=lnx/ln10

常用展开式ln(1+x)=∑(1,∞)[(-1)^n-1·x^n]/n

成立区间(-1,1]

lgx=lnx/ln10=ln[1+(x-1)]/ln10

用(x-1)替换上面常用展开式中的x即可得到结果

成立区间-1＜x-1≤1 即(0,2]

扩展资料：

数项级数式（4）可能收敛，也可能发散。如果数项级数式（4）是收敛的，称为函数项级数（1）的收敛点；如果数项级数式（4）是发散的，称函数项级数（1）的发散点。函数项级数式（1）的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合称为其发散域。

对于收敛域上的每一个数x，函数项级数（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数，记作s（x）。

参考资料来源：百度百科-幂级数

Answer 2

如下图改写之后可以利用ln(1+x)的展开公式间接求出展开式与收敛域。

Answer 3