Question

数学分析之分部积分问题

数学分析之分部积分问题如图。（18）式是怎么用分部积分法得到的？

Answer 1

对∫(0到1) x^nf(x)dx用分部积分法,
∫(0到1) x^nf(x)dx
＝1/(n+1)×∫(0到1) f(x)dx^(n+1)
＝f(1)/(n+1)-1/(n+1)×∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx,
对∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx用积分第一中值定理,存在b∈(0,1),使得∫(0到1) x^(n+1) f'(x)dx＝f'(b)×∫(0到1) x^(n+1) dx＝f'(b)/(n+2).
所以∫(0到1) x^nf(x)dx
＝f(1)/(n+1)-1/(n+1)×f'(b)/(n+2),
所以
lim n ∫(0到1) x^nf(x)dx＝lim [f(1)/(n+1)-1/(n+1)×f'(b)/(n+2)]＝f(1)=0