Question

怎么求一个点关于一个直线的对称点坐标

Answer 1

求一条直线对称点的坐标的解题方法：

①设所求对称点A的坐标为(a，b)。

②根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。

③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。

设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。

把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。

④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

举例：

①已知点B的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标。

②设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)

因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1

AB斜率：b-1/a+2=1 (2）

③联立方程(1)、(2)，解二元一次方程组得：a=0，b=3所以该点的坐标为（0，3）

扩展资料：

一次函数k，b与函数图象所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线）

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b（k，b为常数，k≠0）时：

当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限；

当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一，三，四象限；

当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，四象限；

当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二，三，四象限。

当b>0时，直线必通过一、二象限；

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。

Answer 2

1. 设所求对称点A的坐标为(a，b)。
根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。

2. 因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1，即k1*k2=-1。
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为-1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(b-d)/(a-c)=-1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。

3. 联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。

举例：
已知点B的坐标为（-2，1），求它关于直线y=-x+1的对称点坐标？
设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。把C点坐标代入已知直线方程得，
b+1/2=-(a-2/2)+1， 可得：a+b=3 (1)
因为A、B两点关于已知直线y=-x+1对称，所以直线AB与已知直线垂直。又因为已知直线的斜率为-1，所以直线AB的斜率为1
AB斜率：b-1/a+2=1 (2)

Answer 3

<法一>参数方程法

设直线的参数方程为x=h+tcosα 

y=k+tsinα（α为直线l的倾斜角，（h，k）属于l，t'为参数）

定理 ：平面上已知点p（x0，y0）关于已知直线l对称的对称点p‘的坐标是

（（x0-h）cos2α+（y0-k）sin2α+h，（x0-h）sin2α-（y0-k）cos2α+k）

证明：过p（x0，y0）与直线l垂直的直线l’为

x=x0+t’cos（α+π/2）=x0-t’sinα

y=y0+t’sin（α+π/2）=y0+t’cosα

设直线l与l’交于p0（x0’，y0’）

1.p0在l’上则             x0’=x0-t’sinα

y0’=y0+t’cosα

2.p0在l上 则               x0=h+tcosα 

y0=k+tsinα

由1. 2. 得t’=（x0-h）sinα+（k-y0）cosα

设p（x0，y0）关于直线l的对称点p’（x’，y’）则p’在直线l’上

3.                       即      x’=x0-2t’sinα

y’=y0+2t’cosα            

将t’代入上式并利用二倍角公式化简得

x’=（x0-h）cos2α+（y0-k）sin2α+h

y’=（x0-h）sin2α-（y0-k）cos2α+k

<法二>向量法

定理 ：平面上已知点p（x0，y0）关于已知直线l对称的对称点p‘的坐标是   

（x0-A/（A^2+B^2）2d’，y0-A/（A^2+B^2）2d’） 

d’为p到直线l的距离                A/（A^2+B^2）为直线l的单位法向量

证明略    

Answer 4

设所求点坐标为（x,y)，已知点坐标比如是（a，b），然后两点的中点（（a+x）/2，（b+y）/2)这个点在直线上，列一方程，（x,y）和(a,b)两点所成直线斜率与已知直线的斜率垂直，乘积为-1，以此列出第二个方程，然后两个方程连列

Answer 5