Question

f（x，y）=2x^2＋y^2-8x-2y+9在D：2x^2+y^2＝1的极值

Answer 1

取极大值16时，x=-2/3，y=-1/3。

取极小值4时，x=2/3，y=1/3。

令 f'=0, f'=0, 得在区域 D:x^2+y^2≤1 上的驻点 (0,0), (±1/√2,-1/2)。

在边界上 x=cost, y=sint。

f=1+2sint(cost)^2=1+2sint[1-(sint)^2]=1+2sint-2(sint)^3。

df/d(sint)=2-6(sint)^2, 令df/d(sint)=0, 得 sint=±1/√3。

f(x,y)=x^2+2x^2y+y^2在区域D:x^2+y^2≤1上的最大值为(1+2√3)/3。

最小值为(1-2√3)/3。

含义

函数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

1、若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；

2、若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。

Answer 2

问题简单，也可用初等数学解决:

追问

哦，好方法！

追答

进一步可得，
取极大值16时，x=-2/3，y=-1/3；
取极小值4时，x=2/3，y=1/3。