Question

已知多项式P(x),Q(x),R(x)S(x)满足：P(x^5)+xQ(x^5)+(x^2)R(x

已知多项式P(x),Q(x),R(x)S(x)满足：P(x^5)+xQ(x^5)+(x^2)R(x已知多项式P(x),Q(x),R(x)S(x)满足：P(x^5)+xQ(x^5)+(x^2)R(x^5)=(1+x+x^2+x^3+x^4)S(x),证明S(1)=P(1)=Q(1)=R(1)=0

Answer 1

设ε是五次单位虚根：
ε=cos(2π/5)+isin(2π/5)
则ε^5=1，
1+ε+ε²+ε³+ε^4=0

分别将1，ε，ε²，ε³，ε^4代入题中等式，
得到
P(1)+Q(1)+R(1)=5S(1)
P(1)+εQ(1)+ε²R(1)=0
P(1)+ε²Q(1)+ε^4·R(1)=0
P(1)+ε³Q(1)+ε^6·R(1)=0
【即P(1)+ε³Q(1)+εR(1)=0】
P(1)+ε^4·Q(1)+ε^8·R(1)=0
【即P(1)+ε^4·Q(1)+ε³R(1)=0】

全部相加得到
5P(1)=5S(1)
∴P(1)=S(1)

根据后四个等式，可以求得
P(1)=Q(1)=R(1)=0

∴S(1)=P(1)=Q(1)=R(1)=0

追问

后面四个等式怎么求得的

明白了 谢谢你

Answer 2

P(1)+Q(1)+R(1)=5S(1)
P(1)+εQ(1)+ε²R(1)=0
P(1)+ε²Q(1)+ε^4·R(1)=0
P(1)+ε³Q(1)+ε^6·R(1)=0
P(1)+ε^4·Q(1)+ε^8·R(1)=0

可以这么想：P(1)+xQ(1)+x²R(1)=0有四个根ε，ε²，ε³，ε^4，超过了这个二次方程的次数
∴只能有P(1)=Q(1)=R(1)=0